Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Рассмотрим теперь интегрирование функций нескольких переменных.

 Двойным интегралом от функции  по области D называется предел интегральной суммы при условии, что число элементарных областей n стремится к бесконечности, а наибольший из диаметров элементарных областей стремится к нулю:

  Если функция  непрерывна в замкнутой области D, то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения области D на элементарные и от выбора точек Рк

 Если >0 в области D, то двойной интеграл

геометрически есть объём цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , сбоку цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ, и снизу областью D плоскости ХОY.

Основные свойства интегралов

1.

2. где С – постоянная

3. Если область интегрирования D разбита на две области D1 и D2, то

  Различают два основных вида области интегрирования:

Область интегрирования D ограничена слева и справа прямыми х=а и х=в (a<в), а снизу и сверху непрерывными кривыми y=φ1(x) и y=φ2(x) , каждая из которых пересекается вертикальной прямой только в одной точке / рис.1/.

  По такой области двойной интеграл вычисляется по формуле:

Причем сначала вычисляется внутренний интеграл  в котором х считается постоянным.

Область интегрирования D ограничена снизу и сверху прямыми y=c и y=d (c<d) , а слева и справа непрерывными кривыми х=φ1(y) и х=φ2(y)   каждая из которых пересекается горизонтальной прямой только в одной точке ( рис. 2).

В такой области двойной интеграл вычисляется по формуле:

Причем сначала вычисляется интеграл  в котором y считается постоянным.

 Правые части формул называются двукратными или повторными интегралами. В более общем случае область интегрирования путем разбиения на части сводится к основным.

Раздел  дифференциальных уравнений представлен линейными уравнениями I порядка, однородными уравнениями I порядка, уравнениями в полных дифференциалах, линейными дифференциальными уравнениями высших порядков с постоянными коэффициентами.

В третьем разделе рассматриваются числовые положительные и знакопеременные ряды, функциональные ряды, ряды Фурье.

Выбор задач по указанным темам определен программой курса высшей математики для 2 семестра СамГТУ.

Назначение работы – помощь студентам при подготовке к экзамену по высшей математике.


На главную страницу. Решение задач