Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Пример 1. Вычислить двойной интеграл:

 . 

По области D: y=x2, y=2-x2. Область D изобразить на чертеже.

Решение: Изобразим область D. Кривые, задающие область D представляют собой параболы. Составив из их уравнений систему и решив её, найдём точки их пересечения.

 Итак, точки пересечения парабол(1,1) и (-1,1). Изобразим область D в декартовой системе координат.

 

 Двойной интеграл в декартовых координатах записывается так:В зависимости от вида области интегрирования двойной интеграл сводится к повторному по разным формулам.

 Область D является областью первого вида, х изменяется от -1 до +1, у от у=х2 до у=2-х2, следовательно наш интеграл сводится к следующему повторному интегралу:

  Возьмем внутренний интеграл, считая х – постоянным, то есть рассматривая его как обычный интеграл по переменной у.

А затем внешний интеграл по переменной х

Двойной интеграл в прямоугольных координатах

 (33)

 (34)

Двойной интеграл в полярных координатах

 (35)

  

Ряды Фурье

Разложение в ряд Фурье функции , заданной на отрезке :

 , (36)

где 

. (37)

Окончание прил.1

Разложение в ряд Фурье по косинусам функции , заданной на отрезке :

;  (38)

 . (39)

Разложение в ряд Фурье по синусам функции , заданной на отрезке : 

;  (40)

 . (41)