Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Пример. С помощью двойного интеграла найти объем тела, ограниченного поверхностями:

  x+y=4, x=0, Z=0.

Решение : Как было сказано, объем тела с помощью двойного интеграла выражается по формуле:

 

  - это цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси ОХ.

  Направляющей служит парабола, точнее одна ветвь параболы

 x+y=4 - это плоскость, параллельная оси OZ, пересекающая плоскость ХОУ по прямой,

 заданной уравнением x+y=4. Построим ее на том же чертеже.

 Уравнения Х=0 и Z=0 задают соответственно координатные плоскости ZOУ и ХОУ.

 Итак, нетрудно себе представить, что тело ограничено сверху цилиндрической поверхностью , снизу плоскостью ХОУ, сбоку х=0 и x+y=4.

 Необходимо построить область D.

 Область интегрирования D принадлежит одновременно и к первому и ко второму виду.

Будем рассматривать ее как область первого вида. Воспользуемся формулой для области первого вида.

 Чтобы правильно расставить пределы интегрирования, нужно помнить, что пределами на внешнем интеграле могут быть только числа( пределы изменения Х ), а на внутреннем, в общем случае, функции. Нужно уяснить, какой кривой ограничена область снизу, и какой – сверху, и записать соответственно правые части уравнений кривых, решенных относительно У, в качестве пределов интегрирования. В качестве подинтегральной функции  пишем правую часть уравнения .

 Получим:

=

  Ответ: .

Основные свойства и приложения криволинейного интеграла первого рода

1. Линейные свойства:

2.Если линия L состоит из частей L1 и L2, то

3. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл не изменяет своего значения, т.е. если под MN и NM понимать разнонаправленные линии, то

4. Это свойство характерно только для криволинейного интеграла 1-го рода, ввиду того, что dl > 0 при любом движении вдоль кривой MN.

С помощью криволинейных интегралов 1-го рода можно вычислять следующие геометрические и физические величины:

1)  длина кривой MN

2) Если кривая MN - материальная с распределённой плотностью , то

а) масса кривой

б) координаты центра тяжести

в)  моменты инерции кривой относительно осей координат и начала координат


На главную страницу. Решение задач