Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Следующая задача относится к вычислению тройного интеграла

 Тройным интегралом от функции  по области Ư называется предел интегральной суммы при условии, что

,  где d- диаметр частичной области разбиения

  Для непрерывной в области U функции этот предел существует и не зависит от способа разбиения области U на элементарные и от выбора точек Рк (теорема о существовании тройного интеграла).

 Если  в области U, то тройной интеграл  физически есть масса тела, занимающего область U и имеющего переменную плотность

 В частности, если , то тройной интеграл определяет объем области U,т.е.

dU – элемент объёма.

 Основные свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.

 В декартовых координатах тройной интеграл обычно записывают в виде:

Вычисление тройного интеграла

 Пусть область интегрирования U определяется неравенствами:

Где y1(x), y2(x), z1( x, y), z2(x, y) – непрерывные функции. Тогда тройной интеграл от функции  по области U вычисляется по формуле:

  Интеграл стоящий в правой части формулы называется трехкратным. Он принципиально мало чем отличается от двукратного, добавляется лишь интегрирование еще по одной переменной.

Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода

Чтобы вычислить криволинейный интеграл 1-го рода, его нужно преобразовать в определённый интеграл с помощью уравнения кривой интегрирования, при этом:

- если кривая MN задана уравнением:

, то

- если кривая MN задана уравнением:

, то

- если кривая MN задана параметрическими уравнениями:

 

то 

- если кривая MN задана в полярных координатах

то

- если криволинейный интеграл задан на пространственной кривой MN и подынтегральная функция зависит от трех переменных f(x,y,z), то задавая кривую параметрическими уравнениями 

x=x(t), y=y(t), z=z(t),

  вычисление производим по формуле:


На главную страницу. Решение задач