Теория поля Контрольная работа по теме интегралы Геометрические и физические приложения кратных интегралов Поверхностный интеграл первого и второго рода Примеры решения задач по алгебре

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Пример. Три судна доставили в порт 6000 т чугуна, 4000 т железной руды и 3000 т апатитов.

Разгрузку можно производить как непосредственно в железнодорожные вагоны для последующей доставки потребителям, так и на портовые склады. В вагоны можно разгрузить 8000 т, а остаток груза придется направить на склады. Необходимо учесть, что поданные в порт вагоны не приспособлены для перевозки апатитов. Стоимость выгрузки 1 т в вагоны составляет соответственно 4,30, 5,25 и 2,20 ден. ед.

Записать в математической форме условия полной разгрузки судов, если затраты на нее должны составить 58850 ден. ед.

Решение. По условию задачи, доставленные в порт чугун, железную руду и апатиты можно разгрузить двумя способами: либо в железнодорожные вагоны, либо в портовые склады. Обозначим через x i j количество груза (в тоннах) i-го вида (i= 1,2,3), которое предполагается разгрузить j-м способом (j = 1, 2). Таким образом, задача содержит шесть неизвестных. Условие полной разгрузки чугуна можно записать в виде

x 11 + x 12 = 6000, (5.7)

где x 11, x 12 - части чугуна, разгружаемого соответственно в вагоны и на склады. Аналогичное условие должно выполняться и для железной руды:

x2 1 + x22 = 4000. (5.8)

Что же касается апатитов, то их можно разгружать только на склады, а поэтому неизвестное x 31 = 0, и условие полной разгрузки апатитов принимает вид

x 32 =3000. (5.9)

Условие полной загрузки всех поданных в порт вагонов запишется так:

x 11 + x 21 = 8000. (5.10)

Затраты на разгрузку, по условию, определены в 58850 ден. ед., что можно выразить записью:

4,3x 11 + 7,8 x 12 + 5,25 x 21 + 6,4x 22 + 3,25x 32 = 58850. (5.11)

Итак, с учетом сложившейся в порту ситуации условия полной разгрузки судов выражаются в математической форме системой линейных уравнений (5.7) - (5.11). С учетом (5.9) уравнение (5.11) перепишется в виде:

4,3x 11 + 7,8x 12 +5,25x 21 +6,4x 22 = 49100,

и теперь мы имеем систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными x 11, x 12, x 21, x 22, расширенная матрица которой имеет вид:

`A = .

Преобразуем ее к треугольному виду:

`A ~  ~  ~
~  ~ .

Наша система равносильна следующей:

 x 11 + x 12 = 6000,

 - x 12 + x 21 = 2000,

 x 21 + x 22 = 4000,

 -2,35 x 22 = - 4700,

откуда x 22 = 2000, x 21 = 2000, x 12 = 0, x 11 = 6000.

Пример. Определить ранг матрицы.

~, Þ Rg = 2.

 Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.

Теорема о базисном миноре.

  Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.

 Если А- квадратная матрица и detA = 0, то по крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю.

Матричный метод решения систем линейных уравнений.

  Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

 Метод удобен для решения систем невысокого порядка.

  Метод основан на применении свойств умножения матриц.

 Пусть дана система уравнений: 

Составим матрицы: A = ; B = ; X = .

Систему уравнений можно записать:

A×X = B.

Сделаем следующее преобразование: A-1×A×X = A-1×B,

т.к. А-1×А = Е, то Е×Х = А-1×В

Х = А-1×В


На главную страницу. Курсовая по математике