Теория поля Контрольная работа по теме интегралы Геометрические и физические приложения кратных интегралов Поверхностный интеграл первого и второго рода Примеры решения задач по алгебре

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Пример. График параболы, заданной уравнением

, не является графиком функции, поскольку прямая, параллельная оси , пересекает его в двух точках при всех значениях  , кроме  (рис. 12.1). Заданное уравнение эквивалентно двум уравнениям , каждое из которых определяет функцию. Графиком функции  служит верхняя половина параболы, графиком функции  – ее нижняя половина. Обе функции определены при .

График функции (12.3) имеет вид, изображенный на рис. 12.2.

4) Словесный способ. При этом способе функция может быть задана с помощью описания соответствия. Поставим в соответствие каждому числу  число 1, числу 0 – число 0, а каждому  – число . В результате получим функцию, определенную на всей вещественной оси и принимающую три значения: 1, 0 и . Эта функция имеет специальное обозначение  (signum – по латыни обозначает “знак”) и, конечно, может быть записана с помощью нескольких формул:

Другой пример: каждому рациональному числу поставим в соответствие число 1, а каждому иррациональному – число 0. Полученная функция называется функцией Дирихле

Рассмотрим более подробно некоторые специальные аналитические способы задания функции.

Функция называется явной, если она задана формулой , в которой правая часть не содержит , например, функция .

Функция называется неявной, если она задана уравнением , не разрешенным относительно зависимой переменной. Это название отражает только способ задания функции, а не характер функциональной зависимости. Одна и та же функция может быть задана как явно, так и неявно. Например, функции  и  могут быть заданы также и неявным образом с помощью уравнения .

Сложная функция. Если функция  зависит от переменной , т.е. , а , в свою очередь, является функцией от переменной , т.е.  с областью значений , то переменная  называется сложной функцией (или композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функции) от  и записывается в виде .

Из определения следует, что сложная функция может быть представлена в виде цепочки простых функций: , . Переменную  принято называть промежуточным аргументом в отличие от независимой переменной . Очевидно, что цепочка, составляющая сложную функцию, может состоять не только из двух, но и из большего числа звеньев. Например, функция  состоит из трех звеньев: , , .

Уравнение поверхности в пространстве.

 Определение. Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности.

Общее уравнение плоскости.

 Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:

Ax + By + Cz + D = 0,

где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости.

 Возможны следующие частные случаи:

А = 0 – плоскость параллельна оси Ох

В = 0 – плоскость параллельна оси Оу

С = 0 – плоскость параллельна оси Оz

D = 0 – плоскость проходит через начало координат

А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу

А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz

В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz

А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох

В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу

С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz

А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу

А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz

В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz


На главную страницу. Курсовая по математике