Теория поля Контрольная работа по теме интегралы Геометрические и физические приложения кратных интегралов Поверхностный интеграл первого и второго рода Примеры решения задач по алгебре

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Пример. Построить график функции

 .

Выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене (СР 2), получим:

 

Произведем параллельный перенос осей координат, поместив начало новой системы координат в точку  . В системе координат  построим искомый график функции  с помощью контрольных точек  и  (рис. 12.30).

Так как график функции  (парабола) получается из параболы  параллельным переносом, то это замечание позволяет строить искомый график, не используя метод выделения полного квадрата.

Пример. Построить график функции .

y = x2 + 2x +3

 Найдем точку пересечения графика с осью . Полагая , получим , т.е. график проходит через точку . Так как уравнение  не имеет корней, то график функции не пересекает ось . Найдем тогда точки пересечения графика с некоторой прямой, параллельной оси . За такую прямую удобно принять прямую  . Для этого нужно решить уравнение   , . Следовательно,  и  – точки пересечения прямой  с параболой. Точки А и В лежат одновременно и на искомой параболе, и на прямой, перпендикулярной оси симметрии параболы; следовательно, они симметричны относительно оси параболы. Используя эти соображения найдем координаты вершины Е параболы:  и . Соединяя точки А, В и  плавной линией, получим искомый график (рис. 12.31).

Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости.

 Пусть заданы два вектора  и , коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы  должны быть компланарны.

 Уравнение плоскости:

 

Уравнение плоскости по точке и вектору нормали.

 Теорема. Если в пространстве задана точка М0(х0, у0, z0), то уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору нормали (A, B, C) имеет вид: 

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

 Доказательство. Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, составим вектор . Т.к. вектор  - вектор нормали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору . Тогда скалярное произведение

×= 0

Таким образом, получаем уравнение плоскости

Теорема доказана.


На главную страницу. Курсовая по математике