Теория поля Контрольная работа по теме интегралы Геометрические и физические приложения кратных интегралов Поверхностный интеграл первого и второго рода Примеры решения задач по алгебре

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Число е . Рассмотрим последовательность

.

Придавая  различные натуральные значения, получаем таблицу:

1

2

10

100

1000

10000

100000

2

2,25

2,594

2,705

2,717

2,718

2,718

Из таблицы видно, что  с возрастанием  изменяется все медленнее и, по-видимому, стремиться к некоторому пределу. Докажем это.

Согласно неравенству Бернулли (10.1), . Обозначим . Тогда для последовательности  имеем . Выполнив преобразования над отношением

, получим, что .

Итак, последовательность  монотонно убывает и ограничена снизу числом 2.

Следовательно, она имеет конечный предел, причем, , т.е. последова-тельность  тоже имеет предел. Этот предел принято обозначать буквой е:

.  (4.29)

Число е иррациональное, которое называют неперовым числом. Его приближенное значение равно 2,72 (). Число е принято за основание натуральных логарифмов, которые обозначаются , т.е. .

Найдем связь между натуральными и десятичными логарифмами. По определению логарифма (СР 4.2) имеем . Прологарифмируем обе части равенства по основанию 10:

, т.е. .

Пользуясь таблицей десятичных логарифмов, находим . Число М называется модулем перехода от натуральных логарифмов к десятичным. Значит,

   . (11.22)

Полученные формулы дают связь между натуральными и десятичными логарифмами.

Число е часто используют для раскрытия неопределенности [].

 Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.

Найдем координаты векторов:

Найдем смешанное произведение полученных векторов:

,

Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

 Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).

Найдем координаты векторов:

Объем пирамиды

Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.

Sосн = (ед2)

Т.к. V = (ед)


На главную страницу. Курсовая по математике