Теория поля Контрольная работа по теме интегралы Геометрические и физические приложения кратных интегралов Поверхностный интеграл первого и второго рода Примеры решения задач по алгебре

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Пример. Пусть темп инфляции составляет 1 % на день.

На сколько уменьшится начальная сумма через полгода.

 Обозначим через  начальную сумму. Тогда по формуле (4.32), с учетом того, что  (количество дней за полгода), получим

,

т.е. инфляция уменьшит начальную сумму примерно в шесть раз.

Хотя в практических финансово-кредитных операциях непрерывное начисление процентов применяется крайне редко, оно оказывается весьма эффективным при анализе сложных финансовых проблем, в частности при обосновании и выборе инвестиционных решений.

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел e = . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 × 1,5 = 150, а еще через полгода - в 150 × 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3)3 »237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

  100 × (1 +1/10)10 » 259 (ден. ед.),

 100 × (1+1/100)100 » 270 (ден. ед.),

 100 × (1+1/1000)1000 » 271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что

= e.

Свойства определённого интеграла

Свойство 1.  (по определению)

Свойство 2. (по определению), т.е. при перемене местами пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный.

Свойство 3.(линейность интеграла)

Для доказательства достаточно составить интегральную сумму для функции  и воспользоваться свойствами пределов функции. Действительно,

Отметим, что из доказанного свойства следуют такие очевидные факты

а) ,

т.е. постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла

б)

т.е. интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций по данному промежутку .

 


На главную страницу. Курсовая по математике