Теория поля Контрольная работа по теме интегралы Геометрические и физические приложения кратных интегралов Поверхностный интеграл первого и второго рода Примеры решения задач по алгебре

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Пример. xn = . Найти  xn.

Решение. =.

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример. Найти  ().

Решение. Применять теорему о пределе разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ¥ - ¥. Преобразуем формулу общего члена:

  = .

Пример. Дана функция f(x)=21/x. Доказать, что  не существует.

Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { xn }, сходящуюся к 0, т.е.  xn =0. Покажем, что величина f(xn)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть xn = 1/n. Очевидно, что 1/n =0, тогда   =  2n = +¥. Выберем теперь в качестве xn последовательность с общим членом xn = -1/n, также стремящуюся к нулю.   =  2- n=  1/2n = 0. Поэтому 2 1/x не существует.

Формула Ньютона-Лейбница

Теорема. Если функция  непрерывна на промежутке , то определённый интеграл от этой функции по промежутку  равен разности значений какой-либо первообразной этой функции на верхнем и на нижнем пределах интегрирования, т.е.

  (Формула Ньютона-Лейбница)

Доказательство. Обозначим через  первообразную функции , тогда, принимая во внимание доказанную выше теорему Барроу,

имеем:

   (1)

Полагая в этом равенстве , получим:

. Положим в равенстве (1) , тогда получим .

Итак, для того, чтобы вычислить определённый интеграл, достаточно вычислить разность значений первообразной на верхнем и на нижнем значениях пределов интеграла. Заметим, что разность  обозначают так:


На главную страницу. Курсовая по математике