Теория поля Контрольная работа по теме интегралы Геометрические и физические приложения кратных интегралов Поверхностный интеграл первого и второго рода Примеры решения задач по алгебре

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Пример. Доказать, что  sin x не существует.

Решение. Пусть x1, x2,..., xn,... - последовательность, для которой
xn = ¥. Как ведет себя последовательность {f(xn)} = {sin xn } при различных xn ®¥ ?

Если xn= pn, то sin xn= sin pn = 0 при всех n и sin xn =0. Если же
xn=2pn+p/2, то sin xn= sin(2pn+p/2) = sin p/2 = 1 для всех n и следовательно  sin xn =1. Таким образом,  sin x не существует.

Пример 4.7. Найти  .

Решение. Имеем:  = 5. Обозначим t = 5x. При x®0 имеем: t®0. Применяя формулу (3.10), получим 5.

Пример. Вычислить .

Решение. Обозначим y=p-x. Тогда при x®p, y®0.Имеем:

sin 3x = sin 3(p-y) = sin (3p-3y) = sin 3y.

sin 4x = sin 4(p-y) = sin (4p-4y)= - sin 4y.

=- .

Пример. Найти .

Решение. Обозначим arcsin x=t. Тогда x=sin t и при x®0 t®0. =.

5. Измельчая дробление (за счёт увеличения числа точек дробления ) и устремляя при этом ранг дробления к нулю  т.е. (увеличивая число точек дробления, мы следим за тем, чтобы уменьшалась и стремилась к нулю длина всех частичных участков ), будем находить предел последовательности интегральных сумм

Если этот предел существует, не зависит от способа дробления и выбора точек , то он называется определённым интегралом от функции  по промежутку   и обозначается так:

Итак, мы привели ни что иное, как развёрнутое определение определённого интеграла от функции  по промежутку . Принимая во внимание сказанное выше, можем дать определение определённого интеграла более компактно так:

,

где -нижний предел интегрирования, - верхний предел. В этом случае, когда для функции  существует определённый интеграл , функция   называется интегрируемой на промежутке . Заметим, что в приведённом определении предполагается, что . Понятие определённого интеграла можно обобщить и на случай, когда  или . Действительно, будем считать по определению, что

если , то , а если , то


На главную страницу. Курсовая по математике