Теория поля Контрольная работа по теме интегралы Геометрические и физические приложения кратных интегралов Поверхностный интеграл первого и второго рода Примеры решения задач по алгебре

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Пример.

Найти 1) ; 2) ; 3)  .

Решение.

1. Применяя теорему 1 о пределе разности и произведения, находим предел знаменателя: .

Предел знаменателя не равен нулю, поэтому, по теореме 1 о пределе частного, получаем: =.

2. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида 0/0. Теорема о пределе частного непосредственно неприменима. Для “раскрытия неопределенности” преобразуем данную функцию. Разделив числитель и знаменатель на x-2, получим при x ¹ 2 равенство:

=.

Так как (x+1) ¹ 0, то, по теореме о пределе частного, найдем

  =  = .

3. Числитель и знаменатель при x®¥ являются бесконечно большими функциями. Поэтому теорема о пределе частного непосредственно не применима. Разделим числитель и знаменатель на x2 и к полученной функции применим теорему о пределе частного:

=.

Пример 4.11. Найти .

Решение. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю:, x-9®0, т.е. имеем неопределенность вида .

Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы выражения , получим

.

Свойство 6. (Теорема о средн ем)

Теорема. Если  непрерывна на промежутке , то между точками  и  найдётся хотя бы одна точка  такая, что будет иметь место равенство

Доказательство. Допустим, что . В силу свойства 4 имеет место оценка

 .

Функция  непрерывна на промежутке , следовательно, принимая значения, равные  и , она принимает и всякое промежуточное значение, т.е. найдётся точка  такая, что функция   примет в этой точке значение равное , т.е. будет

.

 

Заметим, что значения функции  в точке    называется " средним", откуда и название этого свойства.

Поясним геометрический смысл теоремы о среднем (рис 3). Если  на , то, принимая во внимание геометрический смысл определённого интеграла, в силу теоремы о среднем мы можем утверждать, что площадь криволинейной трапеции равновелика площади прямоугольника с тем же основанием и высотой, равной .

Приведём без доказательства ещё несколько интересных свойств определённого интеграла.


На главную страницу. Курсовая по математике