Теория поля Контрольная работа по теме интегралы Геометрические и физические приложения кратных интегралов Поверхностный интеграл первого и второго рода Примеры решения задач по алгебре

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Пример. Найти производную функции

y=.

Решение. Представим функцию y=  в виде суперпозиции двух функций: y = eu и u = x2. Имеем: y'x =y 'u u'x = (eu)'u(x2)'x = eu ×2x. Подставляя x2 вместо u, получим y=2x.

Пример. Найти производную функции y=ln sin x.

Решение. Обозначим u=sin x, тогда производная сложной функции y=ln u вычисляется по формуле y' = (ln u)'u(sin x)'x= .

Пример. Найти производную функции y=.

Решение. Случай сложной функции, полученной в результате нескольких суперпозиций, исчерпывается последовательным применением правила 5:

.

Пример. Вычислить производную y=ln .

Решение. Логарифмируя и используя свойства логарифмов, получим:

y=5/3ln(x2+4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x3+1)-1/3tg 5x.

Дифференцируя обе части последнего равенства, получим:

.

Определённый интеграл. Его свойства

1. Определение определённого интеграла

Рассмотрим некоторую функцию , определённую на промежутке , рис 1.

Выполним 5 операций.

1. Разобьём промежуток  точками

произвольным образом на   частей. Обозначим , а наибольшую из длин этих частичных участков обозначим через , т.е. будем называть рангом дробления.

2. На каждом частичном участке  возьмём произвольную точку  и вычислим в ней значение функции .

3. Составим произведение

4. Составим сумму

Эта сумма называется интегральной суммой или суммой Римана.


На главную страницу. Курсовая по математике