Теория поля Контрольная работа по теме интегралы Геометрические и физические приложения кратных интегралов Поверхностный интеграл первого и второго рода Примеры решения задач по алгебре

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Пример. Найти , если , и  – независимая переменная.

 Так как , , , то по формуле (14.60) имеем .

Пример. Найти предел функции y = при x ® 0.

Решение. Имеем неопределенность вида ¥-¥. Сначала преобразуем ее к неопределенности вида 0/0, для чего достаточно привести дроби к общему знаменателю. К полученному выражению два раза применим правило Лопиталя. Записывая последовательно все промежуточные вычисления, будем иметь:

= = ==
==.

Пример. Найти .

Решение. Раскрывая неопределенность вида ¥/¥ по правилу Лопиталя, получаем:

  = = =0.

Пример. Вычислить .

Решение. Имеем неопределенность вида 1¥. Обозначим искомый предел через A. A = .

Тогда ln A = = = = 2, Þ A = e2.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Несобственные интегралы по неограниченному промежутку

1. Определение несобственного интеграла по неограниченному промежутку

Пусть функция  определена на промежутке  и интегрируема на любом отрезке .

Определение 1. Несобственным интегралом  от функции  по бесконечному промежутку   (несобственным интегралом 1го рода) называют предел

Если этот предел конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.

Если   (рис 1), то очевидно, что  даёт нам площадь бесконечной криволинейной трапеции.

Принимая во внимание формулу Ньютона-Лейбница и определение несобственного интеграла   рода вычислим

,

где   - первообразная функции  на любом промежутке . Обобщив формулу Ньютона-Лейбница, можно окончательно написать

,

здесь .


На главную страницу. Курсовая по математике