как-то так
Теория поля Контрольная работа по теме интегралы Геометрические и физические приложения кратных интегралов Поверхностный интеграл первого и второго рода Примеры решения задач по алгебре

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Применяя сочетание методов подведения под знак дифференциала и разложения, интегралы вида

 и   (6.13)

путем выделения в числителе производной  квадратного трехчлена и выделения полного квадрата в квадратном трехчлене, приводятся к табличным интегралам.

Пример. Найти

Имеем  Используя , получим

   ●

Пример. Найти

В данном случае подынтегральная функция является неправильной дробью . Путем деления числителя на знаменатель  и применения формулы , получим

    ●

Как видно, нахождение интегралов иногда требует некоторой изобретательности, которая приобретается в результате решения значительного числа примеров.

Вычисление объёмов

   Рассмотрим некоторое тело, вытянутое вдоль оси  и допустим, что мы знаем площадь сечения этого тела любой плоскостью . Обозначим площадь этого сечения через . Разобьём отрезок  произвольным образом на  частей точками

 .

На каждом частичном участке  возьмём произвольную точку . Площадь этого сечения . Элементарный объём , тогда очевидно, что объём рассматриваемого тела

.

В частности, отсюда нетрудно получить формулу объёма тела вращения, которая получается от вращения  вокруг оси   ( предполагается непрерывной на промежутке ). Действительно, в этом случае площадь сечения представляет собою круг радиуса , следовательно площадь сечения равна . А тогда объём тела вращения


На главную страницу. Выполнение домашнего по математике