Теория поля Контрольная работа по теме интегралы Геометрические и физические приложения кратных интегралов Поверхностный интеграл первого и второго рода Примеры решения задач по алгебре

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной).

Пример. Найти .

Положим   , тогда . Следовательно,

. ●

При замене переменной в неопределенном интеграле часто оказывается проще задавать не , как функцию от , а, наоборот, задавать   как функцию от .

Так, если интеграл имеет вид , то его можно упростить с помощью подстановки ,  и найти интеграл аналогично (6.15), т.е.

.  (6.17)

Пример. Найти . Обозначим , тогда . Следовательно,

.  ●

Пример. Найти . Обозначим , тогда . Следовательно,

.  ●

Пример. Найти .

Обозначим , тогда  . Следовательно,

. ●

Общих методов подбора подстановок не существует и удачный ее выбор обычно сопряжен с известными трудностями. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифференцирования и хорошо знать табличные интегралы.

Допустим теперь, что существует такая функция , что "элементарное" слагаемое , соответствующее промежутку  длины , приближенно может быть записано в виде

,

где   лежит между  и , причём ошибка этого равенства при бесконечно малом ранге дробления  будет бесконечно малой, порядка высшего, чем , т.е.

.

В этом случае для  получается приближённое выражение

,

тем более точно, чем меньше . Стало быть, точное значение  будет служить пределом суммы при , или, что то же самое,

 

 (1)

 

На практике это рассуждение облекают в более краткую форму, говоря, что если элемент  величины , отвечающий элементарному отрезку , представим в виде

 

,

т.е.

 

,

то равенство (1) верно.


На главную страницу. Выполнение домашнего по математике