Теория поля Контрольная работа по теме интегралы Геометрические и физические приложения кратных интегралов Поверхностный интеграл первого и второго рода Примеры решения задач по алгебре

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Поскольку интегралы от простейших дробей – элементарные функции,

то отсюда вытекает следующий вывод: интеграл от любой рациональной функции выражается через элементарные функции.

Методы нахождения коэффициентов разложения рациональной функции на простейшие дроби. Приведем два наиболее употребляемых метода нахождения неопределенных коэффициентов   в равенстве (6.38).

Метод неопределенных коэффициентов. Суть метода такова:

а) Знаменатель  данной дроби раскладываем на множители, т.е. приводим к виду (16.34).

б) Правильную дробь (6.35) разлагаем на сумму простейших дробей с неопределенными коэффициентами по формуле (6.38).

в) В правой части равенства (16.38) простейшие дроби приведем к общему знаменателю ; в результате получим тождество , где  – многочлен с неопределенными коэффициентами. Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тождественно равны и числители, т.е.

.  (6.39)

г) Используя известный в алгебре факт, что два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему алгебраических уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов.

д) Записываем дробь (6.35) в виде линейной комбинации простейших дробей по формуле (6.38) с найденными значениями неопределенных коэффициентов.

Метод частных значений. Если в тождестве (6.39) придать  конкретные различные значения столько раз, сколько неизвестных коэффициентов, то получим систему линейных алгебраических уравнений, из которой определим неизвестные коэффициенты.

Это особенно удобно, когда знаменатель  правильной рациональной дроби имеет только действительные простые корни.

На практике часто комбинируют оба рассмотренных выше метода.

Теорема 2 (Второй признак сравнения).

Если функции  и  непрерывны на промежутке  и неотрицательны, т.е.  и , и существует конечный отличный от нуля предел , то тогда интегралы  и   (где ) в смысле сходимости ведут себя одинаково, т.е. оба сходятся, или оба расходятся.

Доказательство. Допустим, что , причём .

В силу определения предела это означает, что для любого  при достаточно больших значениях  будет выполнено неравенство , что равносильно   или . Предположим сначала, что интеграл  сходится, а тогда в силу полученного неравенства и первого признака сравнения следует, что интеграл  сходится, значит сходится и .

Допустим теперь, что интеграл  расходится, тогда в силу того же неравенства и первого признака сравнения вытекает, что расходится и интеграл , т.е. расходится .


На главную страницу. Выполнение домашнего по математике