Теория поля Контрольная работа по теме интегралы Геометрические и физические приложения кратных интегралов Поверхностный интеграл первого и второго рода Примеры решения задач по алгебре

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Пример Вычислим интеграл

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin x\;dx,$

применив формулу интегрирования по частям два раза подряд. Имеем:

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin x\;dx=
 \left\vert\begin{array}{l}
...
...rray}{l}
 u=x\\ 
 dv=\cos x\;dx\\ 
 du=dx\\ 
 v=\sin x
 \end{array}\right\vert=$

   

$\displaystyle =\underbrace{x\sin x\Bigr\vert _0^{\frac{\pi}{2}}}_{{}=\frac{\pi}...
...\sin x\;dx=
 \frac{\pi}{2}+\cos x\Bigr\vert _0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}-1.$

   

Если бы мы сразу же не вычисляли значения подстановок во внеинтегральных членах, то нам пришлось бы несколько раз при нахождении первообразных выписывать значения этих внеинтегральных членов $ -x^2\cos x$и $ x\sin x$, а здесь мы сразу же заменили первую подстановку на 0, а вторую на $ \frac{\pi}{2}$, что сэкономило некоторое место в записи и наши усилия.    


Примеры: . ; этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится.
2. ; следовательно, интеграл сходится и равен .
Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом интегрирования определяется интеграл в пределах от до b : и в пределах от до : . В последнем случае f(x) определена на всей числовой оси, интегрируема по любому отрезку; c - произвольная (собственная) точка числовой оси; интеграл называется сходящимся, если существуют и конечны оба входящих в определение предела. Пользуясь свойством аддитивности определённого интеграла, можно показать, что существование конечных пределов и их сумма не зависят от выбора точки c. Найти преобразование Фурье функции 

Представить интегралом Фурье функцию

Представить интегралом Фурье функцию  , продолжая ее четным образом на интервал

Найти преобразование Фурье функции .

Интегралы, зависящие от параметра

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность интеграла по параметру. Интегрирование и дифференцирование по параметру под знаком интеграла.

Несобственные интегралы,  зависящие от параметра, равномерная сходимость, критерий Коши. Признаки равномерной сходимости Вейерштрасса, Абеля, Дирихле, Дини.


На главную страницу. Выполнение домашнего по математике