Теория поля Контрольная работа по теме интегралы Геометрические и физические приложения кратных интегралов Поверхностный интеграл первого и второго рода Примеры решения задач по алгебре

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Очевидно следующее утверждение, которое мы сформулируем для интеграла с бесконечным верхним пределом:

сходится тогда и только тогда, когда для любого c, удовлетворяющего неравенству c > a, сходится интеграл

(док-во: так как при a < c < b по свойству аддитивности , и от b не зависит, то конечный предел при для интеграла в левой части существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел для интеграла в правой части равенства).

Примеры:. . Интеграл сходится.
4. следовательно, интеграл сходится и равен .


Примеры:
. . На всём промежутке интегрирования ; интеграл сходится (p = 7 > 1 ), поэтому исходный интеграл сходится;
. Здесь при , расходится (p = 2/3 < 1), поэтому исходный интеграл расходится;
. . Здесь сравнить подынтегральную функцию с какой-либо степенью x невозможно, так как числитель - неограниченная функция, поэтому рассуждаем по-другому. При ln x - бесконечно большая низшего порядка по сравнению с любой положительной степенью x, поэтому ограниченная функция, поэтому , интеграл от большей функции сходится, следовательно, исходный интеграл тоже сходится;

Мера и интеграл Лебега (факультатив)

Кольца, полукольца множеств. Аддитивная функция множества и ее свойства.

Продолжение счетно аддитивной меры с полукольца на кольцо. Лебегово продолжение меры.

Внешняя мера Лебега и ее свойства.

-кольцо   измеримых множеств и счетная аддитивность внешней меры на нем.

Классы измеримых множеств в : открытые, замкнутые, борелевские множества, множества меры нуль.

Измеримые функции и их свойства.

Сходимость функциональной последовательности почти всюду и теорема Егорова. Сходимость по мере, связь со сходимостью почти всюду - теорема Лебега. Сходимость по мере, связь со сходимостью почти всюду - теорема Рисса. Теорема Лузина (формулировка).

Простые функции. Приближение измеримой функции простыми функциями.


На главную страницу. Выполнение домашнего по математике