Теория поля Контрольная работа по теме интегралы Геометрические и физические приложения кратных интегралов Поверхностный интеграл первого и второго рода Примеры решения задач по алгебре

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость:


15. . ; интеграл от большей функции сходится, следовательно, сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.
16. . , первый множитель, , стремится к нулю при , следовательно, ограничен: , интеграл от последней функции сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.
Приведённые примеры показывают, что переход от к и применение к последнему интегралу методов исследования на сходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, в случае его сходимости, позволяет сделать вывод и о сходимости (притом, абсолютной) исходного интеграла. Если же интеграл от | f(x)| расходится, решение задач значительно усложняется.
Пример: исследовать на сходимость интеграл .
1. Докажем, что этот интеграл сходится. Интегрируем его по частям: .

Для последнего интеграла , т.е. он сходится абсолютно, следовательно, исходный интеграл сходится.

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что множество  измеримо по Жордану

Доказать, что компактное множество меры Лебега нуль имеет меру Жордана (объем) нуль.

Доказать, что при диффеоморфизме между открытыми множествами в : замкнутые подмножества переходят в замкнутые, открытые – в открытые, граница подмножества в границу образа, ограниченные подмножества в ограниченные, подмножества меры Жордана нуль в множества меры Жордана нуль и наоборот.

Покажите, что множество меры Лебега 0 в  не имеет внутренних точек.

Покажите, что измеримое по Жордану множество без внутренних точек имеет нулевой объем (меру Жордана).

Покажите, что если множество  таково, что , то и .

Верно ли утверждение: «Если  и , то  интегрируема по Риману на .»?


На главную страницу. Выполнение домашнего по математике