Пример . Не вычисляя определителя
, показать, что он равен нулю.
Решение.
Вычтем из второй строки первую, получим определитель 
,
равный исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получится определитель
, в котором две строки пропорциональны.
Такой определитель равен нулю.
Пример . Вычислить определитель D = 
, разложив его по элементам второго столбца.
Решение. Разложим определитель по элементам второго столбца:
D = a12A12 + a22A22+a32A32=
=
.
Пример 1.6. Вычислить определитель
A = 
,
в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равны
нулю.
Решение. Разложим определитель А по первой строке:
A = a11 A11 = 
.
Определитель, стоящий справа, можно снова разложить по первой строке, тогда получим:
A = 
.
И так далее. После n шагов придем к равенству A = а11 а22... ann.
2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:
(АВ)С=А(ВС).
3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:
А(В + С) = АВ + АС
(А + В)С = АС + ВС.
4) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение:
a(AB) = (aA)B = A(aB).
5) Если определено произведение АВ , то определено произведение ВТАТ и выполняется равенство:
(АВ)Т = ВТАТ, где
индексом Т обозначается транспонированная матрица.
6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA×detB.
Понятие det (определитель, детерминант) будет рассмотрено ниже.