Теория поля Контрольная работа по теме интегралы Геометрические и физические приложения кратных интегралов Поверхностный интеграл первого и второго рода Примеры решения задач по алгебре

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Задача.

Пластинка  задана ограничивающими ее кривыми, -поверхностная плотность. Найти массу пластинки.

Обобщенная полярная система координат:

Якобиан перехода:

Доказать, что измеримые по Жордану множества образуют кольцо, но не -кольцо.

Доказать, что мера Жордана регулярна.

Доказать, что .

Доказать, что .

Доказать, что .

Пусть   - пространство с полной счетно аддитивной мерой. Доказать, что все подмножества меры нуль образуют -кольцо.

Доказать, что борелевские множества измеримы по Лебегу.

Описать все подмножества  такие, что их характеристические функции интегрируемы по Риману.

Доказать, что всякое измеримое по Лебегу множество есть объединение борелевского и множества меры 0.

Пусть   - пространство с мерой и . Определим внутреннюю меру множества : . Доказать, что ..

Координаты центра масс

Пусть  - плоская область, в которой распределена масса с плотностью . По определению центром масс плоской области называется точка  с координатами

,

где  - масса плоской области , а   и  - статические моменты.

Принимая во внимание выражения для массы и статических моментов через двойные интегралы, получим

Рассмотрим теперь некоторое тело , ограниченное простой поверхностью, и пусть в нём распределена масса, плотность которой , то для координат центра масс этого тела получим совершенно аналогичные выражения:

.


На главную страницу. Выполнение домашнего по математике