Теория поля Контрольная работа по теме интегралы Геометрические и физические приложения кратных интегралов Поверхностный интеграл первого и второго рода Примеры решения задач по алгебре

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Задача. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

Задача. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

Цилиндрические координаты:

6. Найти поток вектора  через поверхность параболоида  

 вырезаемую цилиндром ориентированную в соответствии с направлением орта 

7. С помощью формулы Остроградского найти поток вектора  через всю поверхность куба  в направлении внешней нормали.

8. С помощью формулы Стокса найти циркуляцию вектора  по сечению сферы  плоскостью  в положительном направлении относительно орта 

9. Найти  если .

10. Проверить соленоидальность поля 

Дадим теперь определение тройного интеграла.

Рассмотрим некоторое тело , ограниченное простой поверхностью. Можно доказать, что такие тела кубируемы, т.е. имеют объём. И пусть в каждой точке этого тела задана функцию .

Определение 2. Разобьём тело  (рис 10) простыми поверхностями на части  с диаметрами   и объёмами . Наибольший из диаметров  называется рангом дробления .

В каждой частичной ячейке  возьмём произвольную точку  и вычислим в ней значение функции , которое умножим на объём соответствующей ячейки , т.е. составим произведения: .

Просуммируем все такие произведения, т.е. составим интегральную сумму (сумму Римана):

.

Измельчая дробление, будем искать предел последовательности интегральных сумм

если этот предел существует и не зависит от способа дробления и выбора точки , то он называется тройным интегралом от функции  по телу и обозначается так:

Итак, лаконично можно сказать так: тройной интеграл есть предел последовательности интегральных сумм, т.е.

.


На главную страницу. Выполнение домашнего по математике