Курс лекций по электротехнике. Примеры расчета электрических цепей в курсовой

Закон сохранения заряда.

Первое уравнение Максвелла. В среде с постоянным током, который характеризуется вектором объемной плотности , выделим некоторый замкнутый контур V и поверхность S, которая опирается на этот контур. Введем положительную единичную нормаль к поверхности S.

Второе уравнение Максвелла. В результате обобщения многочисленных экспериментальных исследований Фарадей получил закон электромагнитной индукции: Переменное магнитное поле, пересекающее замкнутый  проводящий контур, наводит в этом контуре э.д.с., величина которой пропорциональна скорости изменения потока.

 Уточнение понятия о проводниках и диэлектриках. Среды могут существенно отличаться величиной объемной проводимости, поэтому при одной и той же напряженности электрического поля в них могут возбуждаться различные токи. Для удобства классификации сред на проводники и диэлектрики вводят понятия идеального проводника и идеального диэлектрика. Идеальные проводники – это среды, удельная проводимость которых бесконечна. Идеальные диэлектрики – среды, удельная проводимость которых равна нулю

  Граничные условия. Неприменимость уравнений Максвелла в дифференциальной форме на границе раздела диэлектрических сред. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме справедливы для описания сред электродинамические параметры, которых либо являются непрерывными функциями координат поля в линейных средах, электродинамические параметры (eа,mа,s) которых не зависят от координат, либо являются непрерывными функциями координат. На практике, чаще всего возникают задачи, в которых присутствуют электродинамические среды, отличающиеся электродинамическими параметрами. На границе раздела сред, где соответствующие параметры меняются скачком, операция дифференцирования, а стало быть, и уравнения Максвелла в дифференциальной форме, незаконна. В этом случае для описания электромагнитного поля при переходе границы раздела сред, используют уравнения Максвелла в интегральной форме.

Условия для касательных составляющих вектора E и D На границе раздела сред, отличающихся eа, выделим точку. Проведем через нее нормаль к поверхности S. Через эту нормаль проведем плоскость р.

На линии пересечения плоскостей выделим элементарный отрезок Dl, так, чтобы его можно было считать прямолинейным, и касательная, составляющая Е в I и II средах у границы раздела, была распределена равномерно. Отрезок Dl включает точку, в которой построили единичную нормаль. В этой точке проведем единичный вектор касательный к Dl и единичный вектор перпендикулярный к Dl. В плоскости р построим контур высотой Dh так, чтобы участки контура CD и АВ находились в разных средах. Положительное направление обхода контура ABCD связано с направлением единичной нормали правилом правого винта.

Условия для касательных составляющих В и Н. Поверхностный ток. Условия для касательных составляющих магнитных векторов выводятся также как и для электрических. Через нормаль проводим плоскость р. На линии пересечения выделяем элемент длины Dl, малый настолько, чтобы в пределах этого участка касательные составляющие  в 1 и 2 средах были распределены равномерно.

Энергия электромагнитного поля. Баланс энергий электромагнитного поля. Как и любая форма материи, электромагнитное поле обладает энергией, которая может распространяться в пространстве и преобразоваться в другие виды энергии. Сформулируем уравнение баланса электромагнитного поля применительно к некоторому объему V, ограниченному поверхностью S. Пусть, в этом объеме, за счет сторонних источников, выделяется электромагнитная энергия. Из общефизических соображений, очевидно, что мощность сторонних источников будет расходоваться на потери, на изменение энергии и частично будет рассеиваться на поверхности S, уходя во внешнее пространство.

Плотность энергии электромагнитного поля

Уравнения Максвелла для монохроматического поля. Метод комплексных амплитуд. Любые переменные электромагнитные процессы можно представить в виде дискретного или непрерывного спектра гармонических электромагнитных полей. Поэтому в дальнейшем будем анализировать гармонические электромагнитные процессы (монохроматические), так как сигнал любой сложности можно представить как суперпозицию гармонических процессов. Обычно используют метод комплексных амплитуд.

Уравнения баланса для комплексной мощности. В радиотехнике часто пользуются понятием комплексной мощности. Так, если рассматривается гармонический процесс, то комплексную мощность сторонних источников можно записать

Теорема единственности для внутренней и внешней задач электродинамики. Уравнения Максвелла являются дифференциальными уравнениями в частных производных, поэтому они допускают множество решений. Из общефизических соображений, очевидно, что если полностью повторять условия опытов, то будем получать одно и то же распространение электромагнитного поля. Для обеспечения единственности решения электродинамических задач электромагнитное поле должно удовлетворять не только уравнениям Максвелла, но также должно удовлетворять ряду дополнительных условий. Они называются условиями единственности решения уравнений Максвелла. Выводы и доказательства формулируются теоремой единственности.

Электродинамические потенциалы гармонического поля. Уравнения Гельмгольца. Практически все задачи электродинамики разделяют на 2 вида: 1. прямые задачи, в которых по заданному распределению сторонних источников необходимо определить соответствующее распределение электромагнитного поля. 2. обратные задачи, в которых по заданному распределению электромагнитного поля надо определить соответствующее распределение сторонних источников. В этом разделе рассмотрим основные методы решения прямых задач электродинамики применительно для гармонического ЭМ поля и однородных линейных изотропных сред.

Решение неоднородных уравнений Гельмгольца

Закон сохранения заряда.

Полученное уравнение непрерывности тесно связано с законом сохранения заряда и по существу является его дифференциальной.

Закон сохранения заряда: Всякому изменению электрического заряда (q) внутри объема V, ограниченному поверхностью S, соответствует электрический ток, втекающий или вытекающий из этого объема:

 (1).

Для того, чтобы доказать взаимосвязь уравнения непрерывности и закона сохранения полного тока, получим закон сохранения полного тока из уравнения непрерывности. Проинтегрируем уравнение непрерывности по объему:

.

Левую часть преобразуем по теореме Остроградского - Гаусса, а в правой части поменяем интегрирование с дифференцированием: .

Здесь: , а .

Отсюда получаем: .

Пределы, ранее введенные, следует рассматривать в физическом смысле.

Третье уравнение Максвелла.

Третье уравнение Максвелла является обобщением закона Гаусса на случай переменных процессов. Поток вектора электрической индукции  через поверхность S, ограниченную объемом V равен электрическому заряду сосредоточенному внутри объема V:

.

Учитывая, что  получим.

Последнее соотношение справедливо, если равны подынтегральные соотношения. Отсюда получаем:  (1).

Полученное соотношение и является третьим уравнением Максвелла.

Развернем дивергенцию в системе координат:  .

Анализируя (1) отметим, что истоками или стоками вектора электрического смещения  являются свободные электрические заряды. Силовые линии начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. В отличие от вектора электрического смещения истоками и стоками другого электрического вектора - вектора напряженности могут быть как свободные, так и связанные электрические заряды.

 (2).

Подставим (2) в (1):  (3).

Объемная плотность поляризационных зарядов:

   (4).

Причиной возникновения этой величины является неравномерность вещества под действием внешнего электрического поля. Подставляя (4) в (3), получим:  (5).

2.5. Четвертое уравнение Максвелла.

Так как в природе не обнаружено магнитных зарядов и токов, то закон Гаусса и его дифференциальная форма в этом случае описываются следующим образом:

.

Векторное поле магнитной индукции не имеет стоков и истоков. Силовые линии замкнуты. Поле соленоидальное.


На главную