Примеры анализа свободного колебаний
Пример 1. Контур ударного возбуждения
Пусть в цепи рис.1 в момент времени t=0 электронный прибор, работающий в ключевом
режиме, запирается управляющим сигналом. До запирания ток инжекторного электрода
равен I0. Пренебрегая влиянием разделительной емкости Cp (т.к. Cp
C)
найти выходное напряжение Uвых(t) при t
0. Eп
Sупр у il(0)= I0; uc(0)= 0
Составляем схему в операторных параметрах Взаимодействие нуклонов Квантовая физика учитывает квантовые свойства поля: всякому полю должна соответствовать определенная частица — квант поля, которая и является переносчиком взаимодействия. Одна из взаимодействующих частиц испускает квант поля, другая его поглощает. В этом и состоит механизм взаимодействия частиц. Существенно, что обмен частицами лежит в основе вообще всех взаимодействий частиц и является фундаментальным квантовым свойством природы (например, электромагнитные взаимодействия осуществляются путем обмена фотонами).
Записываем узловое уравнение для изображений
(pC + G + 1
pL ) U(p) = I0 ⁄
p.
Записываем решение уравнения
U(p) =
, где 
0; 
>0.
Исследуем характеристический многочлен V(p)=
p2 + 2δp + 
. Его корни p1,2
= -δ ± ±
при условии 
(контур колебательный) являются парой комплексно-сопряженных величин p1,2 = -
, где 
= 
. Вещественная часть корней – отрицательная, следовательно
цепь является устойчивой.
На основании общего решения задачи о свободных колебаниях записываем структуру решения
Uвых(t) = U1e –δt cos (ω1t
+ ψ1 ) , (t 
0).
Определяем коэффициенты решения U1 и ψ1
U1 = 2
= 
; ψ1 = arg 
= - 
.
Записываем решение в окончательном виде
Uвых = 
, (t 0 ).
Анализируем полученный результат. Выходной
сигнал Uвых(t) (рис. 2) представляет собой затухающее синусоидальное колебание
начальная амплитуда которого, пропорциональна начальному току I0, частота 
меньше резонансного значения ω0; скорость убывания
колебаний тем меньше, чем больше R (чем выше добротность колебательной системы)
и т.д.
Uвых(t)
t
Рис. 2
Пример 2 НАЧАЛЬНАЯ СТАДИЯ РАЗВИТИЯ КОЛЕБАНИЙ В АВТОГЕНЕРАТОРЕ.
Данная цель – резонансный усилительный каскад с положительной обратной связью (рис.3.). Найти условия, при которых в цепи возникают автоколебания, и определить их характер.
1. Начальные условия – нулевые, но предположим,
к у что в момент времени t = 0 произошло очень малое
ЭП n изменение тока ЭП и, следовательно, тока индуктив-
. ности. Пусть изображение этой флуктуации J0(t).
и L C Uвых(t) 2. Составляем схему цепи в операторных параметрах
3. Записываем узловое уравнение
( pC + Gi + 
) U(p) = nSU(p) + J0(p) .
Преобразуем его к виду
( pC + Gi - nS + 
) U(p) = J0(p) .
4. Записываем решение уравнения
U(p) = 
,
где 
0; 
0.
5. Исследуем характеристический
многочлен V(p) = p2 + 2δp + 
.
Его корни
p1,2 = -
при условии 
(контур колебательный) являются парой комплексно сопряженных
величин 
, где . При G
nS действительная часть корней отрицательна и, следовательно,
цепь устойчива. При G nS действительная часть корней положительна, цепь неустойчива,
а свободные колебания описываются выражением
U(p) = U1
, (t 0).
Анализируем полученные результаты. Если GnS, то свободные колебания носят затухающий характер
и цепь в этом случае является регенеративным усилителем. Если же G
nS
, то свободные колебания экспоненциально нарастают от сколь угодно малой величины,
до значений, при которых наступает ограничение амплитуды колебаний, связанное
с нелинейными областями ВАХ ЭП (рис.4.). Скорость нарастания колебаний тем больше,
чем больше S и n, в этом случае цепь, является генератором гармонических колебаний
частоты ω0.
Рис.4
7. Анализируем полученный результат.
Сомножитель 
- есть не что иное, как коэффициент усиления на резонансной
частоте.
Выходные колебания устанавливаются не сразу. Причем чем больше Q, тем меньше δ, тем медленнее происходит процесс установления выходных колебаний и т.п.